sábado, 30 de janeiro de 2010

01- Introdução aos Quadriláteros

Quadriláteros Notáveis:

Os quadriláteros notáveis são representados pelos quadrados, retângulos, losangos, paralelogramos e trapézios. Inicialmente estudaremos as suas principais propriedades.

a) Quadrado:
Um quadrilátero convexo é um quadrado se e somente se apresenta os quatro lados congruentes e os quatro ângulos congruentes.



a1) Propriedades:

i) Os ângulos internos de um quadrado são iguais a 90º .
Como a soma dos ângulos internos de um polígono é dada por Si = (n-2)*180º, fazendo n=4 , temos:
Si = ( 4-2)*180º = 360º
Mas como os seu ângulos são congruentes e chamando estes de [; \alpha ;] , segue:
4* [; \alpha ;] = 360º , Logo: [; \alpha ;] = 90º

ii) Em todo quadrado as diagonais são congruentes:
Seja 'a' o lado do quadrado do quadrado do quadrado ABCD e 'y' e 'k' suas diagoanais.
Pelo triângulo retângulo ABC :
k² = a² + a² = 2a² <=> k = a[;/sqrt{2};]
E pelo triângulo retângulo ACD:
y² = a² + a² <=> y = a[;/sqrt{2};]
Logo, y = k.

iii) As diagonais de todo quadrado intersectam-se nos respectivos pontos médios:
Seja M o ponto de interseção das diagonais do quadrado ABCD. Perceba que os triângulos ABM e CDM são semelhantes uma vez que seus três lados são paralelos. COmo AB = CD temos na verdade que ABM = CDM, implicando que AM = CM = BM = DM, ou seja, M é o ponto médio de AC e BD.

iv) Em todo quadrado as diagonais são perpendiculares.

v) Área = a²

vi) As diagonais dividem um quadrado em quatro triângulos de mesma área.


b) Retângulo:
Um quadrilátero convexo é um retângulo se e somente se possui os quatro ângulos iguais. Perceba que uma consequência dessa definição é que todo quadrado é um retângulo.



b1) Propriedades:

i) Os ângulos internos de um retângulo são iguais a 90º.

ii) Em todo retângulo dois lados opostos são congruentes.

iii) Em todo retângulo as diagonais são congruentes.

iv) As diagonais de todo retângulo se intersectam-se nos respectivos pontos médios.

v) Área = a*b, onde a e b são as dimensões do retângulo.

vi) As diagonais dividem um retângulo em 4 triângulo de mesma área.


c) Losango:
Um quadrilátero convexo é um losango se e somente se possui os quatro lados congruentes.

Rombo.png

c1) Propriedades:

i) Em todo losango dois ângulos opostos quaisquer são iguais.

ii) Em todo losango as diagonais interceptam-se nos respectivos pontos médios.

iii) As diagonais de quaisquer losango são perpendiculares.

iv) Área = D*d/2, onde 'D' e 'd' são as diagonais do losango.

d) Paralelogramo:
Um quadrilátero convexo é um paralelogramo se e somente se possui os lados opostos paralelos.




d1) Propriedades:

i) Em todo paralelogramo dois ângulos opostos são congruentes, assim como os seus lados opostos.

ii) Em todo paralelogramo convexo as diagonais interceptam-se nos respectivos pontos médios.

iii) Área = b*h, ou seja, é equivalente a área de uma retângulo de mesma base e mesma altura.


e)Trapézio:



Um quadrilátero convexo é um trapézio se e somente se possui dois lados paralelos.

e1)Propriedades:

i)Área = (B+b)*h/2, onde (B +b) é a soma dos lados paralelos e h é a altura do trapézio.

ii)Num trapézio qualquer, o segmento que liga os pontos médios dos lados oblíquos é paralelo às bases e é a média aritmética entre eles.

iii) O segmento que liga os pontos médios das diagonais de um trapézio é igual à semi-diferença entre as bases ( Em módulo, claro!)


Relações Métricas nos Quadriláteros:

* Condição de inscrição de quadriláteros: Os ângulos opostos devem ser suplementares, ou seja, a soma deles deve ser igual a 180º.

1) Teorema de Ptolomeu: " Num quadrilátero inscritível, o produto das diagonais é igual à soma dos produtos dos lados opostos."

2) Desigualdade de Ptolomeu: " Se ABC é um triângulo e P é um ponto do plano de ABC, então AB*CP + BC*AP [;\ge;] AC*BP. A igualdade ocorre se e somente se o quadrilátero ABCP é inscritrível."

3) Teorema de Hiparco: " A razão das diagonais de um quadrilátero inscritível é a razão entre as somas dos produtos dos lados que concorrem com as respectivas diagonais."

4) Relação de Euler: " Num quadrilátero qualquer a soma dos quadrados dos 4 lados é igual à soma dos quadrados das diagonais mais quatro vezes o quadrado do segmento que une os pontos médios das diagonais."

sexta-feira, 29 de janeiro de 2010

03 - PROPRIEDADES DOS CONJUNTOS - parte 1

Introdução

No Post 02, da 5ª série, vimos os conjuntos Naturais e Inteiros, e agora veremos as suas propriedades.

Propriedades dos Conjuntos Naturais

Seja n, m e o três números quaisquer pertencentes ao Conjunto dos Números Naturais, ou N, temos as propriedades:

1 - O resultado da soma n + m também será um numero natural
2 - O resultado do produto de m x n também será um numero natural
3 - m + n = n + m (Propriedade comutativa da adição)
4 - m x n = n x m (Propriedade comutativa da multiplicação)
5 - n + (m + o) = (n + m) + o (Propriedade associativa da adição)
6 - n x (m x o) = (n x m) x o (Propriedade associativa da multiplicação)
7 - n + 0 = n (propriedade do elemento neutro na adição)
8 - n x 1 = n ( propriedade de elemento neutro na multiplicação)
9 - n x (m + o) = n x m + n x o (Propriedade distributiva da multiplicação)

Essas propriedades à primeira vista, devem ser difíceis e complicadas, mas vamos usar alguns elementos numéricos

1 - 4 + 5 = 9
2 - 4 x 5 = 20
3 - 4 + 5 = 5 + 4
4 - 4 x 5 = 5 x 4
5 - 4 + (5 + 6) = (4 + 5) + 6
6 - 4 x (5 x 6) = (4 x 5) x 6
7 - 4 + 0 = 4
8 - 4 x 1 = 4
9 - 4 x (5 + 6) = 4 x 5 + 4 x 6

Agora parece ter ficado um pouco mais fácil. Essas propriedades serão usadas com muita frequência na nossa "Caminhada Matemática".

Propriedades dos Conjuntos Inteiros

Alem das propriedades anteriores, temos mais uma propriedade:

10 - n + (-n) = 0 (Propriedade que para cada n, existe um n contrário (-n), que quando somados, resulta em 0.)

exemplo:

10 - 4 + (-4) = 4 - 4 = 0

Essas são as propriedades existente nesses dois conjuntos.
No post 04 e 05, iremos conhecer o Conjuntos dos números Reais, e suas propriedades.

02 - CONJUNTOS NUMÉRICOS - parte 1

Introdução

Os números surgiram devido a necessidade de utilização dos homens em para diversas aplicações. Por exemplo:
- Um pastor, ao levar seu rebanho de ovelhas aos campos, pegava uma pedra a cada ovelha que passava pela cerca. Ao anoitecer, para saber que, todas suas ovelhas voltariam e nenhuma fosse roubada, ele jogava uma pedra para cada ovelha que voltasse. Assim, se sobrasse pedras, faltaria ovelhas.
Esse método de contagem, impreciso e trabalhoso, poderia ser evitado se houvesse alguns números para substituir as pedras.
Foi então que os hindus criaram os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Esses 10 algarismo dariam inicio a mais fantástica das ciências existentes até hoje. Esse sistema era proposto da seguinte forma: começam a contagem a partir do 0, chegando ao 9 bastaria apenas fazer um arranjo, para continuar a contagem. após o 9 vem o 0, porem para evitar repetições, usamos um algarismo antes para diferenciar do primeiro 0 no inicio. bastaria colocar o próximo algarismo na frente, ou seja, o 1, ficando o número 10 e assim continuaremos a contagem na mesma sequência, após 0 19 viria o 20, no 29 vem o 30. Mas e depois do 99?
Para essa resposta, tomamos o mesmo raciocínio, escrevemos o 00, e antes deles, voltamos o algarismo 1, ficando 100. E desse modo, poderíamos contar qualquer número em qualquer quantidade.


Conjunto dos Números Naturais ( N )

Esse conjunto, foi o primeiro a existir. Aliás, sempre existiu. Ele é o conjunto dos números que aprendemos a contar, quando criança. Começa do 0, e vai até o maior numero existente, ou seja, o infinito.

Conjunto dos Números Naturais ou N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
As propriedades veremos no Post 03 da 5ª série.

Conjunto dos Números Inteiros ( Z )

Este conjunto só existiu pela necessidade dos comerciantes. Por exemplo:
Minha conta num restaurante ficou em 19 reais, porem eu só tenho 18 reais. Logo ficarei devendo 1 real. Não havendo símbolos existentes para representar o "devendo 1 real", ou simplesmente "devendo 1" surge então os Números Negativos.
O "devendo um" seria o contrario do 1, e seu símbolo matemático seria - 1 (Lê-se 1 negativo).
Para cada numero n existente aos Naturais, existe um elemento - n existente aos inteiros.
Logo o Conjunto dos números inteiros ou Z = {..., -2, -1, 0 , 1, 2, ...}.
As propriedades veremos no Post 03 da 5ª série.

domingo, 24 de janeiro de 2010

01 - POR QUE A MATEMÁTICA É TÃO IMPORTANTE?

Introdução

Muitas vezes, na escola ou em qualquer lugar, nos questionamos: " Por que aprender Matemática?"
Muitas e inúmeras vezes me questionei isso. Nem sempre fui bom em Matemática. Um dia odiei essa maldita matéria que "me fecho" com vermelha na escola.
Após os sermões básicos de meus pais com a nota acima referida, resolvi deitar, mas não conseguia dormir. Então fiquei pesando em tudo, e me questionei pela ultima vez a pergunta: Por que eu tenho que aprender essa matéria?

Em busca de respostas

Lembrei da matéria de história, que tratava a evolução do homem.
Há 200 anos atrás, não havia celulares, computadores, edifícios gigantescos, absolutamente NADA. O que nos trouxe tudo isso em 200 anos? Qual o real motivo para a existência disso tudo hoje?
TUDO, sem excessão de nada, foi construído conscientemente ou não com o auxilio de Cálculos matemáticos. Comecem a olhar ao redor. Uma televisão foi calculada por um engenheiro elétrico ou eletrônico. Uma geladeira foi calculada por um físico, um carro foi projetado por um engenheiro automobilístico, enfim, como dito anteriormente tudo foi calculado por alguém. Mas ai, veio um motivo ainda maior, alias, gigantesco. Como um avião, pesando 10, 15 e as vezes até mais toneladas, consegue voar? Garanto, que não existe exemplo maior e melhor do que este para nos questionarmos a importancia e grandiosidade do Cálculo.

A curiosidade, as vezes é bom...


Afim de recuperar a alegria de meus pais, passei a estudar mais Matemática, e "pior", passei a gostar dessa matéria. Passei a adimirar cada vez mais e mais essa ciencia, alias, rainha das ciências. No bimestre seguinte, um A em Matemática e B em todas as outras. Um choque e tanto aos meus pais e professores. Queria mais. Queria mostrar a eles e a mim mesmo que eu mudei. Pesquisei num velho conhecido site de pesquisa, o google exatamente: "Como construir um avião?"
Adivinhem, por coincidência ou não, no primeiro site da primeira pagina, um nome do tipo: "INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA - ITA". Li o site todo e nenhum manual para eu tentar construir o tal avião, tinha apenas: "Graduação em Engenharia Aeronáutica, insrições abertas". Queria me escrever, tentar fazer um curso de construir avião. Tentei até mesmo resolver uma prova, queria tentar passar no ITA...



... Ainda estou tentando até hoje, mas ja percebi a grande importancia dessa matéria que mudou o mundo, a minha vida e logo mais, irá mudar a sua.



BEM VINDO AO NOSSO MUNDO BEM VINDO A MATEMÁTICA

sábado, 23 de janeiro de 2010

01 - CONJUNTOS

Conceito de Conjunto

Quando nos referimos ao termo conjunto, referimos a uma união de elementos que possuem uma mesma característica em comum. Vamos inicialmente tratar um conjunto S o conjunto dos Estados da região sul do Brasil: S = {Paraná, Santa Catarina, Rio Grande do Sul}. Podemos observar que o conjunto S possui 3 elementos ao todo. Agora vamos tratar do conjunto T o conjunto dos estados brasileiros da região sul, que comece com a letra P: T = {Parana}.
Podemos observar que um elemento pode estar em diversos conjuntos diferentes. Observamos tambem que o único elemento do conjunto T tambem pertence ao conjunto S. Podemos então afirmar que o conjunto T é um subconjunto de S.
Existem diversos conjuntos existentes no mundo matemático e em qualquer outra disciplina, como vimos acima, a geografia. Vejamos agora:

Conjunto dos números pares: {0, 2, 4, 6, 8, ...}
Conjunto dos números impares: {1, 3, 5, 7, ...}
Conjunto das vogais: {a, e, i, o, u}
Conjunto das consoantes: {b, c, d, f, ...,z}
Conjunto dos países sulamericanos que começa com a letra A: {Argentina}
Conjunto dos países sulamericanos que comaça com a letra Z: { }

Conjuntos finitos

São os conjuntos que possuem um numero determinado de elementos. Como no exemplo:
Conjunto das vogais: {a, e, i, o, u}
Porem há conjuntos com um numero muito grande de elementos, que, seria inviavel escrever cada elemento entre as chaves. Nesse caso, escrevemos apenas os primeiros elementos, e, quando a lógica ja foi observada, escrevemos "..." e o(s) ultimo(s) elemento(s). Esse foi o caso de:
Conjunto das consoantes: {b, c, d, f, ...,z}

Conjuntos infinitos

São os conjuntos que possuem um numero infinito de elementos, de modo que, nunca chegará no ultimo elemento. Nesse caso teremos que escrever os primeiros elementos, passar a lógica e em seguida usar novamente o "..." e finalizar o conjunto. Caso dos conjuntos abaixo:

Conjunto dos números pares: {0, 2, 4, 6, 8, ...}
Conjunto dos números impares: {1, 3, 5, 7, ...}

Conjunto Unitário

São os conjuntos que possuem apenas um elemento. Exemplo:
Conjunto dos países sulamericanos que começa com a letra A: {Argentina}

Conjuntos Vazios

São os conjuntos que não possuem elementos que satisfaça uma condição. Exemplo:
Conjunto dos países sulamericanos que comaça com a letra Z:{ }

tambem podemos dizer que um conjunto é vazio da seguinte forma:
T = { [;\empty;] }