Quadriláteros Notáveis:
Os quadriláteros notáveis são representados pelos quadrados, retângulos, losangos, paralelogramos e trapézios. Inicialmente estudaremos as suas principais propriedades.
a) Quadrado:
Um quadrilátero convexo é um quadrado se e somente se apresenta os quatro lados congruentes e os quatro ângulos congruentes.
a1) Propriedades:
i) Os ângulos internos de um quadrado são iguais a 90º .
Como a soma dos ângulos internos de um polígono é dada por Si = (n-2)*180º, fazendo n=4 , temos:
Si = ( 4-2)*180º = 360º
Mas como os seu ângulos são congruentes e chamando estes de , segue:
4* = 360º , Logo: = 90º
ii) Em todo quadrado as diagonais são congruentes:
Seja 'a' o lado do quadrado do quadrado do quadrado ABCD e 'y' e 'k' suas diagoanais.
Pelo triângulo retângulo ABC :
k² = a² + a² = 2a² <=> k = a
E pelo triângulo retângulo ACD:
y² = a² + a² <=> y = a
Logo, y = k.
iii) As diagonais de todo quadrado intersectam-se nos respectivos pontos médios:
Seja M o ponto de interseção das diagonais do quadrado ABCD. Perceba que os triângulos ABM e CDM são semelhantes uma vez que seus três lados são paralelos. COmo AB = CD temos na verdade que ABM = CDM, implicando que AM = CM = BM = DM, ou seja, M é o ponto médio de AC e BD.
iv) Em todo quadrado as diagonais são perpendiculares.
v) Área = a²
vi) As diagonais dividem um quadrado em quatro triângulos de mesma área.
b) Retângulo:
Um quadrilátero convexo é um retângulo se e somente se possui os quatro ângulos iguais. Perceba que uma consequência dessa definição é que todo quadrado é um retângulo.
b1) Propriedades:
i) Os ângulos internos de um retângulo são iguais a 90º.
ii) Em todo retângulo dois lados opostos são congruentes.
iii) Em todo retângulo as diagonais são congruentes.
iv) As diagonais de todo retângulo se intersectam-se nos respectivos pontos médios.
v) Área = a*b, onde a e b são as dimensões do retângulo.
vi) As diagonais dividem um retângulo em 4 triângulo de mesma área.
c) Losango:
Um quadrilátero convexo é um losango se e somente se possui os quatro lados congruentes.
c1) Propriedades:
i) Em todo losango dois ângulos opostos quaisquer são iguais.
ii) Em todo losango as diagonais interceptam-se nos respectivos pontos médios.
iii) As diagonais de quaisquer losango são perpendiculares.
iv) Área = D*d/2, onde 'D' e 'd' são as diagonais do losango.
d) Paralelogramo:
Um quadrilátero convexo é um paralelogramo se e somente se possui os lados opostos paralelos.
d1) Propriedades:
i) Em todo paralelogramo dois ângulos opostos são congruentes, assim como os seus lados opostos.
ii) Em todo paralelogramo convexo as diagonais interceptam-se nos respectivos pontos médios.
iii) Área = b*h, ou seja, é equivalente a área de uma retângulo de mesma base e mesma altura.
e)Trapézio:
Um quadrilátero convexo é um trapézio se e somente se possui dois lados paralelos.
e1)Propriedades:
i)Área = (B+b)*h/2, onde (B +b) é a soma dos lados paralelos e h é a altura do trapézio.
ii)Num trapézio qualquer, o segmento que liga os pontos médios dos lados oblíquos é paralelo às bases e é a média aritmética entre eles.
iii) O segmento que liga os pontos médios das diagonais de um trapézio é igual à semi-diferença entre as bases ( Em módulo, claro!)
Relações Métricas nos Quadriláteros:
* Condição de inscrição de quadriláteros: Os ângulos opostos devem ser suplementares, ou seja, a soma deles deve ser igual a 180º.
1) Teorema de Ptolomeu: " Num quadrilátero inscritível, o produto das diagonais é igual à soma dos produtos dos lados opostos."
2) Desigualdade de Ptolomeu: " Se ABC é um triângulo e P é um ponto do plano de ABC, então AB*CP + BC*AP AC*BP. A igualdade ocorre se e somente se o quadrilátero ABCP é inscritrível."
3) Teorema de Hiparco: " A razão das diagonais de um quadrilátero inscritível é a razão entre as somas dos produtos dos lados que concorrem com as respectivas diagonais."
4) Relação de Euler: " Num quadrilátero qualquer a soma dos quadrados dos 4 lados é igual à soma dos quadrados das diagonais mais quatro vezes o quadrado do segmento que une os pontos médios das diagonais."