sábado, 30 de janeiro de 2010

01- Introdução aos Quadriláteros

Quadriláteros Notáveis:

Os quadriláteros notáveis são representados pelos quadrados, retângulos, losangos, paralelogramos e trapézios. Inicialmente estudaremos as suas principais propriedades.

a) Quadrado:
Um quadrilátero convexo é um quadrado se e somente se apresenta os quatro lados congruentes e os quatro ângulos congruentes.



a1) Propriedades:

i) Os ângulos internos de um quadrado são iguais a 90º .
Como a soma dos ângulos internos de um polígono é dada por Si = (n-2)*180º, fazendo n=4 , temos:
Si = ( 4-2)*180º = 360º
Mas como os seu ângulos são congruentes e chamando estes de [; \alpha ;] , segue:
4* [; \alpha ;] = 360º , Logo: [; \alpha ;] = 90º

ii) Em todo quadrado as diagonais são congruentes:
Seja 'a' o lado do quadrado do quadrado do quadrado ABCD e 'y' e 'k' suas diagoanais.
Pelo triângulo retângulo ABC :
k² = a² + a² = 2a² <=> k = a[;/sqrt{2};]
E pelo triângulo retângulo ACD:
y² = a² + a² <=> y = a[;/sqrt{2};]
Logo, y = k.

iii) As diagonais de todo quadrado intersectam-se nos respectivos pontos médios:
Seja M o ponto de interseção das diagonais do quadrado ABCD. Perceba que os triângulos ABM e CDM são semelhantes uma vez que seus três lados são paralelos. COmo AB = CD temos na verdade que ABM = CDM, implicando que AM = CM = BM = DM, ou seja, M é o ponto médio de AC e BD.

iv) Em todo quadrado as diagonais são perpendiculares.

v) Área = a²

vi) As diagonais dividem um quadrado em quatro triângulos de mesma área.


b) Retângulo:
Um quadrilátero convexo é um retângulo se e somente se possui os quatro ângulos iguais. Perceba que uma consequência dessa definição é que todo quadrado é um retângulo.



b1) Propriedades:

i) Os ângulos internos de um retângulo são iguais a 90º.

ii) Em todo retângulo dois lados opostos são congruentes.

iii) Em todo retângulo as diagonais são congruentes.

iv) As diagonais de todo retângulo se intersectam-se nos respectivos pontos médios.

v) Área = a*b, onde a e b são as dimensões do retângulo.

vi) As diagonais dividem um retângulo em 4 triângulo de mesma área.


c) Losango:
Um quadrilátero convexo é um losango se e somente se possui os quatro lados congruentes.

Rombo.png

c1) Propriedades:

i) Em todo losango dois ângulos opostos quaisquer são iguais.

ii) Em todo losango as diagonais interceptam-se nos respectivos pontos médios.

iii) As diagonais de quaisquer losango são perpendiculares.

iv) Área = D*d/2, onde 'D' e 'd' são as diagonais do losango.

d) Paralelogramo:
Um quadrilátero convexo é um paralelogramo se e somente se possui os lados opostos paralelos.




d1) Propriedades:

i) Em todo paralelogramo dois ângulos opostos são congruentes, assim como os seus lados opostos.

ii) Em todo paralelogramo convexo as diagonais interceptam-se nos respectivos pontos médios.

iii) Área = b*h, ou seja, é equivalente a área de uma retângulo de mesma base e mesma altura.


e)Trapézio:



Um quadrilátero convexo é um trapézio se e somente se possui dois lados paralelos.

e1)Propriedades:

i)Área = (B+b)*h/2, onde (B +b) é a soma dos lados paralelos e h é a altura do trapézio.

ii)Num trapézio qualquer, o segmento que liga os pontos médios dos lados oblíquos é paralelo às bases e é a média aritmética entre eles.

iii) O segmento que liga os pontos médios das diagonais de um trapézio é igual à semi-diferença entre as bases ( Em módulo, claro!)


Relações Métricas nos Quadriláteros:

* Condição de inscrição de quadriláteros: Os ângulos opostos devem ser suplementares, ou seja, a soma deles deve ser igual a 180º.

1) Teorema de Ptolomeu: " Num quadrilátero inscritível, o produto das diagonais é igual à soma dos produtos dos lados opostos."

2) Desigualdade de Ptolomeu: " Se ABC é um triângulo e P é um ponto do plano de ABC, então AB*CP + BC*AP [;\ge;] AC*BP. A igualdade ocorre se e somente se o quadrilátero ABCP é inscritrível."

3) Teorema de Hiparco: " A razão das diagonais de um quadrilátero inscritível é a razão entre as somas dos produtos dos lados que concorrem com as respectivas diagonais."

4) Relação de Euler: " Num quadrilátero qualquer a soma dos quadrados dos 4 lados é igual à soma dos quadrados das diagonais mais quatro vezes o quadrado do segmento que une os pontos médios das diagonais."

2 comentários:

Lisi disse...

Gostei muito do Blog.
Só acho que poderia ficar melhor, se tivesse as demonstrações das propriedades.
Abraço

Osvanildo disse...

cara, pra mim quebrou um galho doido; tava numa questao do ITA aqui que tava escura; clareou um bocado. Parabéns.